Hauteur d'un tas de 4 boules sphériques?

[ecolami]

Bonjour,
Le problème est de connaitre la hauteur d'un tas de 4 boules dont 3 portent la 4°.
Je pensais trouver la solution avec une formule donnant la hauteur d'un tétraèdre régulier d'arrête A qui est racine carrée de 2/3. Mais je ne sais pas si ça suffit, ni surtout si on peut ensuite étendre une formule pour un tas a base triangulaire avec N couches de boules.

[darrigan]

La hauteur $h$ d'un tétraèdre de côté $c$ est : $h=c\sqrt{\frac{2}{3}}$
Or ce tétraèdre a ses sommets au centre des boules en contact. Le côté $c$ est donc égal à 2 fois le rayon d'une boule, soit le diamètre $d$.
Sous le tétraèdre, il y a une hauteur égale au rayon d'une boule, et idem au dessus du tétraèdre, donc il faut ajouter une hauteur égale au diamètre.
La hauteur totale $H$ du tas est donc :
$$H = d+h$$
$$H = d + d\sqrt{\frac{2}{3}}$$
Là, cela correspond à 2 couches.
À chaque fois que tu ajoutes une couche, tu ajoutes une hauteur de tétraèdre. Je dirais donc pour $n$ couches de boules :
$$H_n = d + (n-1)d\sqrt{\frac{2}{3}}$$
$$H_n = d \left( 1 + (n-1)\sqrt{\frac{2}{3}} \right)$$
Pour $n=1$, on retrouve bien $H=d$.
Pour $n=2$, on retrouve bien $H=d + d\sqrt{\frac{2}{3}}$.

À condition que les boules soient maintenues en place, sinon, elles roulent, tout s'effondre, et la hauteur totale finale sera $d$

[ecolami]

Bonsoir,
MERCI
Cela faisait un moment que je tournais le problème dans tous les sens!