Gradient,calcul

[Damien27]

Bonjour,je dois calculer $ \vec{grad} f $ pour :

a) $ f(r)=r $ et b) $ f(r)=r^n $ et d'autre encore...

Cependant,je ne suis pas sûr d'avoir totalement compris comment l'on calcule cela.
Quelqu'un aurait-il l'amabilité de m'éclairé?

[darrigan]

En coordonnées cartésiennes ou polaires ?

Connais-tu la définition de l'opérateur $ \vec{grad} $ ? (exprimée avec l'opérateur nabla $ \nabla $)

(Sinon, voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nabla )

[brusicor02]

Bonjour,

Première question : tu es en coordonnées cylindriques ou sphériques ?

[Damien27]

En coordonnées cartésiennes ou polaires ?

Connais-tu la définition de l'opérateur $ \vec{grad} $ ? (exprimée avec l'opérateur nabla $ \nabla $)

(Sinon, voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nabla )

Et bien en faite,figure toi que il n'ont pas précisé si c'est en cartésienne polaire ou cylindrique ^^.
Mais effectivement je connais nabla.
J'ai aussi vu que $ {grad} f $= $ \frac{\partial f}{\partial x} e_x+ \frac{\partial f}{\partial y}e_y+ \frac{\partial f}{\partial z}e_z $ en cartésienne.
Et qu"en sphérique $ {grad} f $= $ \frac{\partial f}{\partial \rho} e_\rho+ \frac{\partial f}{\partial \theta.\rho}e_\theta+ \frac{\partial f}{\partial z}e_z $.

Donc normalement,en cartésienne,grad f= $ 1.e_x+1.e_y+1.e_z $ $ e_x,ey,e_z $étant des vecteurs.
En sphérique c'est déjà moins évident...
Merci pour ton aide en tout cas

[brusicor02]

Je suis de bonne humeur, soyons fou, démontrons !

Le gradient $ \overrightarrow{\text{grad}} \, f$ de la fonction $f$, c'est le lien entre sa différentielle $\text{d} f$ et le vecteur déplacement élémentaire $\vec{\text{dM}}$ : $$ \text{d} f = \overrightarrow{\text{grad}} \, f \cdot \vec{\text{dM}} $$ La différentielle, c'est grossièrement : $$ \text{d} f = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \text{d} x_i $$ et le vecteur déplacement le vecteur obtenu en effectuant des petites variations des coordonnées.



coordonnées cartésiennes : le plus sympathique des systèmes de coordonnées

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$
paramètres : $\left ( x , y, z \right )$ $ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $ base : $\left ( \vec e_x , \vec e_y, \vec e_z \right )$
Donc reste à exprimer la différentielle et le vecteur déplacement élémentaire : $$ \text{d} f = \frac{\partial f}{\partial x} \text{d} x + \frac{\partial f}{\partial y} \text{d} y + \frac{\partial f}{\partial z} \text{d} z \\ \vec {\text{dM}} = \text{d} x \cdot \vec e_x + \text{d} y \cdot \vec e_y + \text{d} z \cdot \vec e_z $$ Et donc : $$\overrightarrow{\text{grad}} \, f = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \vec e_x + \frac{\partial f}{\partial y} \vec e_y + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z$$



coordonnées cylindriques : petit échauffement

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$
paramètres : $\left ( r, \theta, z \right )$ $ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $ base : $\left ( \vec e_e , \vec e_\theta, \vec e_z \right )$
La différentielle est la partie la plus simple à écrire : $$ \text{d} f = \frac{\partial f}{\partial r} \text{d} r + \frac{\partial f}{\partial \theta} \text{d} \theta + \frac{\partial f}{\partial z} \text{d} z$$ Pour exprimer le vecteur déplacement élémentaire, il faut raisonner sur chaque variation élémentaire de paramètres :

• Lorsque je fais varier le paramètre $r$ d'une valeur $\text{d} r$, c'est un déplacement $\text{d}r \cdot \vec e_r$
• Lorsque je fais varier le paramètre $\theta$ d'une valeur $\text{d} \theta$, c'est un déplacement $r \cdot \text{d} \theta \cdot \vec e_\theta$
• Lorsque je fais varier le paramètre $z$ d'une valeur $\text{d} z$, c'est un déplacement $\text{d}z \cdot \vec e_r$

D'où notre vecteur déplacement élémentaire : $$ \vec {\text{dM}} = \text{d} r \cdot \vec e_r + r \, \text{d} \theta \cdot \vec e_\theta + \text{d} z \cdot \vec e_z $$ Et donc : $$\overrightarrow{\text{grad}} \, f = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \vec e_r + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z$$



coordonnées sphériques : l'épreuve finale !
$\; \; \; \; \; \;$
paramètres : $\left ( \rho, \theta, \varphi \right )$ $ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $ base : $\left ( \vec e_\rho , \vec e_\theta, \vec e_\varphi \right )$
On commence par se rassurer avec la différentielle : $$ \text{d} f = \frac{\partial f}{\partial \rho} \text{d} \rho + \frac{\partial f}{\partial \theta} \text{d} \theta + \frac{\partial f}{\partial \varphi} \text{d} \varphi$$ Pour le vecteur déplacement élémentaire, même technique :

• Lorsque je fais varier le paramètre $\rho$ d'une valeur $\text{d} \rho$, c'est un déplacement $\text{d}\rho \cdot \vec e_\rho$
• Lorsque je fais varier le paramètre $\theta$ d'une valeur $\text{d} \theta$, c'est un déplacement $\rho \cdot \text{d} \theta \cdot \vec e_\theta$
• Lorsque je fais varier le paramètre $\varphi$ d'une valeur $\text{d} \varphi$, c'est un déplacement $\rho \cdot \sin \theta \cdot \text{d} \varphi \cdot \vec e_\varphi$

D'où notre vecteur déplacement élémentaire : $$ \vec {\text{dM}} = \text{d} \rho \cdot \vec e_\rho + \rho \, \text{d} \theta \cdot \vec e_\theta + \rho \cdot \sin \theta \cdot \text{d} \varphi \cdot \vec e_\varphi $$ Et donc : $$\overrightarrow{\text{grad}} \, f = \frac{\partial f}{\partial \rho} \cdot \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{1}{\rho \; \sin \theta} \frac{\partial f}{\partial \varphi} \vec e_\varphi$$

Maintenant, je prie pour ne pas avoir de question sur les rotationnels. $ \overrightarrow{\text{rot}} $

[Damien27]

Tu aurais du faire les exercices,ils ne vont pas se faire tout seuls!

Non je rigole bien sûr^^,merci beaucoup pour ton aide,pour ces explications très détaillés ,les schémas .

Je pourrais me débrouiller pour la suite,aussi parce que je sais que r=(x²+y²+z²)^1/2.

Euh le rot,non t'inquiète,je ne fais pas encore d'exercice sur ça,mais si j'ai vraiment des questions je les poserais dans une semaine ou dix jours je penses,mais je regarderais mieux le cours .
Bye,et ne va pas dormir trop tard.

[brusicor02]

Bonsoir,

C'est surtout que pour les rotationnels, c'est nettement plus compliqué à démontrer. Il faut passer par de l'analyse vectorielle plus poussée, par exemple avec le théorème de Stokes (version physicien) : $$ \oint_{\partial \cal{S}} \; \vec f \cdot \vec{\text{d} \ell} \; = \iint_{\cal{S}} \; \vec{\text{rot}} \, \vec{f} \cdot \vec{\text{d} S}$$ Je l'avais démontré en prépa : je me suis réservé un après-midi rien que pour écrire les trois rotationnels.

[darrigan]

Je suis de bonne humeur, soyons fou, démontrons !

Bin dis donc !
(En même temps, j'apprends des choses en $ \LaTeX $, merci)

[Damien27]

Bonsoir,

C'est surtout que pour les rotationnels, c'est nettement plus compliqué à démontrer. Il faut passer par de l'analyse vectorielle plus poussée, par exemple avec le théorème de Stokes (version physicien) : $$ \oint_{\partial \cal{S}} \; \vec f \cdot \vec{\text{d} \ell} \; = \iint_{\cal{S}} \; \vec{\text{rot}} \, \vec{f} \cdot \vec{\text{d} S}$$ Je l'avais démontré en prépa : je me suis réservé un après-midi rien que pour écrire les trois rotationnels.

Oh purée toute une après midi !
Ah t'as été en prépa,tu es rigoureux et très malin alors.
Je vais regarder le cours sur les rotationnels demain,ce que tu dis me fais peur ^^.