Bon, j'ai trouvé :
2b) $v' = 1575 \; m/s$
2c) $h = 1,575 \; m$
Explications :
Déjà tu dois calculer précisément la distance entre le bateau et le banc de poisson, c'est-à-dire d.
$$d = \frac{1}{2}\left(11,3.10^{-3} \times 1,5.10^3 \right) = 8,475 \; m$$
(Si tu arrondies à 8,48 m, tu trouveras ensuite un résultat faussé.)
Ensuite, tu as 2 inconnues : la hauteur du banc de poisson $h$ et la vitesse de propagation dans le banc, $v'$.
Il te faut donc trouver 2 équations avec ces 2 inconnues, pour résoudre le système.
La première relation, on peut l'obtenir en sachant le temps de parcourt de l'onde entre le bateau et le bas du banc de poisson. On a :
$$h = \frac{1}{2}\left(13,3.10^{-3} - 11,3.10^{-3} \right) \times v'$$
Soit :
$$\enclose{box}{h = 10^{-3} \times v'}$$
La deuxième relation, on l'obtient en écrivant l'égalité entre la hauteur totale $H$ et le temps de parcourt, lequel fait intervenir les 3 zones à traverser et les vitesses (entre le bateau et le banc avec la vitesse $v = 1500 \; m/s$, dans le banc avec la vitesse $v'$, et entre le banc et le fond avec la vitesse $v = 1500 \; m/s$).
- La hauteur entre le bas du banc de poisson et le fond de l'eau est : $H-d-h$.
- Le temps total de parcourt de l'onde (aller-retour) est plus court que 16 ms, puisqu'on indique un décalage ($t_R - t_{R'}$) de 100 µs = 0,1 ms. Ce temps est donc : $16,0.10^{-3} - 0,1.10^{-3} = 15,9.10^{-3} \; s $
D'où l'égalité :
$$15,9.10^{-3} = 0,0159 = 2 \left( \frac{8,475}{1500} + \frac{h}{v'} + \frac{H-d-h}{1500} \right)$$
(Le facteur 2 dans la formule vient du fait que l'onde passe deux fois par le même chemin : aller + retour)
Soit :
$$0,00795 = 0,00565 + \frac{h}{v'} + \frac{12-8,475-h}{1500}$$
$$0,00795 = 0,00565 + \frac{h}{v'} + \frac{3,525}{1500}-\frac{h}{1500}$$
En simplifiant :
$$\enclose{box}{-0,00005 = \frac{h}{v'} -\frac{h}{1500}}$$
OK alors on a les 2 relations ! Donc dans la deuxième, on remplace grâce à la première ($h = 10^{-3} \times v'$) et on obtient :
$$-0,00005 = \frac{10^{-3}v'}{v'} -\frac{10^{-3}v'}{1500}$$
$$-0,00005 = 0,001 -\frac{v'}{1500000}$$
D'où :
$$\enclose{box}{v' = 1575 \; m/s}$$
(On a bien $v' > v$ comme prévu.)
Tu en déduis la hauteur d'après la relation déjà démontrée :
$$\enclose{box}{h = 1,575 \; m}$$
Facile hein ?
