variation spatiale de la pression

[Lorris]

bonjour



j'ai un volume elementaire $ \mathrm{d}\tau=\mathrm{d} x\mathrm{d} y\mathrm{d} z $ d'eau de mer
on note $ P(x,y,z) $ la pression de l'eau en un point de coordonées $ (x,y,z) $

1- On me demande le bilan des actions mécanique qui s'exerce sur ce système

ma reponse : -force volumique $ \mathrm{d}\vec{F_{v}}=\vec{f_v}\mathrm{d}\tau $
- force de pression $ \mathrm{d}\vec{F_{p}}=-\vec{grad}p.\mathrm{d}\tau $

dites moi si c'est complet ou juste

2- On me demande de montrer que la pression est indépendante des coordonnées $ x $ et $ y $

j'ai l'intuition peut etre éronée quil faut chercher du coté de :

force de pression exercée sur la face horizontale situé en $ z $ (bas) : $ \mathrm{d}\vec{F_{pz1}}=P(x,y,z)\mathrm{d} x\mathrm{d} y.\vec{u_z} $
force de pression exercée sur la face horizontale situé en $ z+\mathrm{d} z $ (haut) : $ \mathrm{d}\vec{F_{pz2}}=-P(x,y,z+\mathrm{d} z)\mathrm{d} x\mathrm{d} y.\vec{u_z} $

donc $ \mathrm{d}\vec{F_{pz}}=[P(x,y,z)-P(x,y,z+\mathrm{d} z)]\mathrm{d} x\mathrm{d} y.\vec{u_z} $
d'après la formule de Taylor $ \mathrm{d}\vec{F_{pz}}=[\dfrac{\partial p}{\partial z}\mathrm{d} z]\mathrm{d} x\mathrm{d} y.\vec{u_z}=\dfrac{\partial p}{\partial z}\mathrm{d}\tau.\vec{u_z} $

de quoi on déduit :
$ \mathrm{d}\vec{F_{px}}=\dfrac{\partial p}{\partial x}\mathrm{d}\tau.\vec{u_x}
\mathrm{d}\vec{F_{py}}=\dfrac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}\tau.\vec{u_y} $

Comment prouver à partir de ça l'indépendance que l'on cherche à démontrer ...

[brusicor02]

Bonsoir,

Tu es parti sur la bonne base : les forces qui s'appliquent sur notre volume ${\rm d} \tau$ sont :
- des forces de pression : $$- \, \overrightarrow{\rm grad} \, P \cdot \rm d \tau $$ - l'action de la pesanteur : $$\rho \, {\rm d} \tau \overrightarrow{g}$$
On trouve alors avec le principe fondamentale de la dynamique en référentiel galiléen : $$- \, \overrightarrow{\rm grad} \, P \cdot {\rm d} \tau + \rho \, {\rm d} \tau \overrightarrow{g} = \vec 0 \Rightarrow \boxed{\overrightarrow{\rm grad} \, P = \rho \overrightarrow{g}}$$
Notre fluide est supposé incompressible ($\rho$ est constant, youpi !) et qu'on est à la surface de la Terre ($g$ est constant, youpi² !). Le référentiel proposé est cartésien, le gradient s'exprime facilement : $$ \overrightarrow{\rm grad} \, P = \left ( \frac{\partial P}{\partial x} \right )_{y,z} \cdot \overrightarrow{u_x} + \left ( \frac{\partial P}{\partial y} \right )_{x,z} \cdot \overrightarrow{u_y} + \left ( \frac{\partial P}{\partial z} \right )_{x,y} \cdot \overrightarrow{u_z}$$ On a donc l'équation : $$\overrightarrow{\rm grad} \, P = \rho \overrightarrow{g} \Rightarrow \left ( \frac{\partial P}{\partial x} \right )_{y,z} \cdot \overrightarrow{u_x} + \left ( \frac{\partial P}{\partial y} \right )_{x,z} \cdot \overrightarrow{u_y} + \left ( \frac{\partial P}{\partial z} \right )_{x,y} \cdot \overrightarrow{u_z} = - \, \rho \, g \cdot \overrightarrow{u_z}$$
Sous forme matricielle, c'est encore plus évident de voir là où on veut en venir : $$\begin{pmatrix}
\left ( \frac{\partial P}{\partial x} \right )_{y,z}\\
\left ( \frac{\partial P}{\partial y} \right )_{x,z}\\
\left ( \frac{\partial P}{\partial z} \right )_{x,y}
\end{pmatrix} = \rho \cdot \begin{pmatrix}
0\\
0\\
- g
\end{pmatrix}$$ Les deux premières lignes permettent de conclure : $$\left ( \frac{\partial P}{\partial x} \right )_{y,z} = \left ( \frac{\partial P}{\partial y} \right )_{x,z}=0$$ La pression $P$ est donc indépendante des coordonnées $x$ et $y$.

[Lorris]

Merci beaucoup !

Mais les questions s’enchaînent d'une façon qui suggère de ne pas utiliser les outils que tu as utilisés aussi rapidement :

1) Faire le bilan des actions mécaniques exrérieures

2) Indépendance de la pression selon $ x $ et $ y $

3) Expression de la résultante des forces*, en déduire $ \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}=-\rho g $



pour la 2) qu'on a traité de façon poussée, n'y a t-il pas un moyen plus court et plus quantitatif de dire que la pression est indépendante de $ x $ et $ y $ ?

* en fonction de $ g,~\rho(z),~P(z),~P(z+\mathrm{d}z),~\mathrm{d}x,~\mathrm{d}y,~\mathrm{d}z $ et $ \vec{u_z} $

[brusicor02]

L’enchaînement des questions veut peut-être simplement te faire remarquer le sens des deux équations suivant les coordonnées $x$ et $y$ et de ne pas les jeter à la poubelle directement. Peut-être un argument de symétrie peut être utilisé (invariance par translation horizontale à cette échelle), mais cela me semble bancal.