facteur pré-exponentielle (Boltzmann)

[Lorris]

Bonjour

Dans la relation $ p(z)=A\exp({-\dfrac{mgz}{k_BT_0}}) $

"A est une constante déterminée par normalisation(c'est-à-dire en exprimant que la somme des probabilités vaut 1"

je cherche à exprimer $ A $ en fonction de $ m $, $ g $, $ k_B $ et $ T_0 $

en interprétant la phrase j'ai :
$ \sum_i p_i(z)=\sum_i A\exp({-\dfrac{mgz_i}{k_BT_0}})=1 $
$ A=[{\sum_i \exp({-\dfrac{mgz_i}{k_BT_0}})}]^{-1} $

J'ai encore $ z_i $ alors que je ne dois pas l'avoir et je ne sais pas comment faire pour l'éliminer

est ce qu'il faut s'y prendre comme ça ou intégrer ?

[darrigan]

Houla, heu, peux-tu nous rappeler le contexte de cette formule ?

[Lorris]

dans le modele de l'atmosphere isothermeà la température T_0 la densité de probabilité de présence d'une particule s'écrit comme le l'ai fait au dessus

[Lorris]

Bonjour

Quel est l'ordre de grandeur (en eV) de l'énergie d'agitation thermique d'une particule dans les CNTP ?
Comment fait-on pour le trouver ? (formule)

[ecolami]

Bonjour

Quel est l'ordre de grandeur (en eV) de l'énergie d'agitation thermique d'une particule dans les CNTP ?
Comment fait-on pour le trouver ? (formule)

Bonsoir,
Peux-tu révéler ce que sont les CNTP? Accessoirement indiquer dans les formules mathématiques quelles sont les grandeurs ou la nature des variables.

[darrigan]

CNTP : conditions normales de température et pression

Dans la formule
$$ p(z)=A \times e^{{-\frac{mgz}{k_BT_0}}} $$
si $p(z)$ est une probabilité et $z$ une variable continue, alors tu dois avoir :
$$ \int_0^{+\infty}p(z).dz = 1 $$
En d'autres termes, une particule à 100% de chance de se trouver dans l'univers au dessus du niveau de la mer (en supposant la Terre sphérique)

Ce serait une somme avec $\Sigma$ si $z$ était une variable discrète.

D'où l'intégrale à résoudre pour trouver la valeur de A :

$$ \int_0^{+\infty}A \times e^{-\frac{mgz}{k_B T_0}}.dz = 1 $$

$$ A = \frac{1}{\int_0^{+\infty} e^{-\frac{mgz}{k_B T_0}}.dz } $$

Dans ce modèle, on suppose que la température est constante sur toute l'atmosphère avec la valeur $T_0$, ce qui est une grosse approximation, tout de même…

[Lorris]

Merci pour la première partie de la réponse.
Qui consistait à trouver A. (Finalement j'y étais parvenue seul)

Mais pour l'ordre de grandeur de l'énergie d'agitation thermique, des idées ?

[Lorris]

Et accessoirement est ce qu'une température de l'ordre de 105 K vous paraît cohérent pour que la probabilité de trouver l'électron dans la premier état excité soit la moitié de celle de le trouver dans l'état fondamental ? (Ca me paraît un peu élevée)